問題編 (大学入試数学 標準問題100選!)

☆ 各問題で習得してほしいテーマ、数学的思考については、次のページで解答例・解説へのリンクがあります。

安易に解答を見ずに、1問1問に自力で可能な限り時間をかけて取り組んでから(場合によっては数日かけて充分に思考を巡らせてから、あるいは問題の拡張や一般化、抽象化に取り組んでから)、解答例を見てください。 ☆

 

(問題1)

                           (2021 群馬大)

(問題2)

                           (2006 東京大・文系)

(問題3)

                              (2010 京都大)

(問題4)

                         (2021 早稲田大・理工)

(問題5)

                            (1992 京都大)

(問題6)

                             (1989 大阪大)

(問題7)

                              (1982 東京大)

(問題8)

                             (2013 東京大)

(問題9)

                             (1989 東京大)

(問題10)

                             (2022 京都大)

(問題11)

                             (2006 京都大後期)

(問題12)

                             (2001 京都大)

(問題13)

                            (2022 東京大)

(問題14)

                             (2018 千葉大

(問題15)

                             (2017 東工大

(問題16)

                             (2017 千葉大

(問題17)

                          (2019 早稲田大・理工)

(問題18)

                              (2022 群馬大)

(問題19)

                              (1987 東京大)

(問題20)

                              (1993 京都大)                             

(問題21)

                              (2019 京都大)

(問題22)

                              (1989 東京大)

(問題23)

                              (2010 大阪大)

(問題24)

                            (2016 京都大)

(問題25)

                            (2015 東京大)

(問題26)

                              (千葉大

(問題27)

                            (2007 東京大)
(問題28)

                            (2022 群馬大)

(問題29)

                            (1999 東工大

(問題30)

                             (1999 九州大)

(問題31)

                               (弘前大)

(問題32)

                           (1997 大阪大 後期)

(問題33)

                             (2020 群馬大)

(問題34)

                           (2003 京都大 後期)

(問題35)

                             (1999 東京大)

(問題36)

                            (2019 群馬大・医)

(問題37)

                             (2004 東京大)

(問題38)

                            (2017 群馬大・医)

(問題39)

                             (2019 東工大

(問題40)

                           (2018 群馬大・医)

(問題41)

                          

                           (2000 名古屋大後期)

(問題42)

         

                               (慶応義塾大)

(問題43)

                            (2017 群馬大・医)

(問題44)

                             (2005 京都大)

(問題45)

                            (2016 群馬大・医)

(問題46)

                             (2001 東京大)

(問題47)

                           (1997 東京大)

(問題48)

                             (1992 東京大)

(問題49)

                             (2022 千葉大

(問題50)

                             (2015 大阪大)

(問題51)

                             (1989 東京大)

(問題52)

                          (2021 千葉大・工)

(問題53)

                              (1980 東京大)

(問題54)

                            (2020 千葉大・医)

(問題55)

                           (2019 千葉大・工)

(問題56)

                                                                                                                                    (横浜市立大)

(問題57)

                              (2021 東京大)

(問題58)

                            (2018 千葉大・工)

(問題59)

                             (2013 東工大

(問題60)

                             (2018 東京大)

(問題61)

                            (2017 千葉大・工)

(問題62)

                            (2018 千葉大・工)

(問題63)

                             (2014 東工大

(問題64)

                           (1986 名古屋大類題 )

(問題65)

                             (2018 東工大

(問題66)

                            (2009 大阪大)

(問題67)

                             (1993 東京大)

(問題68)

                          (2022 早稲田大・理工)

(問題69)

                                                                                            (福島県医大

(問題70)

                             (2006 東工大

(問題71)

                            (2019 東北大)

(問題72)

                            (2010 東工大

(問題73)

                             (2020 東京大)

(問題74)

                             (2004 名古屋大)

(問題75)

                             (2020 東北大)

(問題76)

                              (2018 東北大)

(問題77)

                            (1984 東京大)

(問題78)

                               (千葉大

(問題79)

                          (1999 早稲田大・理工)

(問題80)

                           (2020 京都大)

(問題81)

                            (2016 千葉大

(問題82)

常用対数表は次のページにある。

(問題83)

                                (1988 東京大)

(問題84)

                           (1984 東京大)

(問題85)

                            (2010 東工大

(問題86)

                            (1989 京都大)

(問題87)

                             (2018 東北大)

(問題88)

                             (2021 東北大)

(問題89)

                            (2018 東北大)

(問題90)

                             (2015 東工大

(問題91)

                           (2020 東北大)

(問題92)

                            (2023 東京大)

(問題93)

                            (2023 大阪大)

(問題94)

                            (2015 東北大)

(問題95)

                            (2020 京都大)

(問題96)

                            (2023 大阪大)

(問題97)

                            (2023 東京大)

(問題98)

                          (2020 早稲田大・理工)

(問題99)

                            (2018 大阪大)

(問題100)

                           (2021 東京大)

 

 

 

 

重要テーマ確認・解答リンク

(問題1)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題2)

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(問題3)

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(問題4)

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(問題5)

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(問題6)

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(問題7)

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(問題8)

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(問題9)

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(問題10)

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(問題11)

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(問題12)

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(問題13)

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(問題14)

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(問題15)

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(問題16)

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(問題17)

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(問題18)

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(問題19)

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(問題20)

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(問題21)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題22)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題23)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題24)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題25)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題26)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題27)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題28)

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(問題29)

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(問題30)

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(問題31)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題32)

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(問題33)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題34)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題35)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題36)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題37)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題38)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題39)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題40)

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(問題41)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題42)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題43)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題44)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題45)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題46)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題47)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題48)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題49)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題50)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題51)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題52)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題53)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題54)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題55)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題56)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題57)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題58)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題59)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題60)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題61)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題62)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題63)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題64)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題65)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題66)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題67)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題68)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題69)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題70)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題71)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題72)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題73)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題74)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題75)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題76)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題77)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題78)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題79)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題80)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題81)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題82)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題83)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題84)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題85)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題86)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題87)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題88)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題89)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題90)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題91)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題92)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題93)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題94)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題95)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題96)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題97)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題98)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題99)

fujisuugaku.hatenablog.jp

(問題100)

fujisuugaku.hatenablog.jp

 

 

 

 

図形(平面図形)・辺の比と面積の関係づけ

(問題1)

                            (2021 群馬大)

(解答例)

 

(重要ポイント)

・辺の長さの比を三角形の面積の比としてとらえると、sinθ を用いた等式が作れる。

 

(関連問題) 2019 千葉大・工

fujisuugaku.hatenablog.jp

 

(参考:群馬大ホームページ)

過去の入試問題 | 国立大学法人群馬大学 (gunma-u.ac.jp)

 

 

図形(平面図形)・円に内接する四角形の性質

(問題2)

               (東京大 / 理系数学入試の核心 標準編33番)

 

(解答例) 

 

(重要ポイント)

・円に内接する四角形の条件は向かい合う内角の和が180°である

・対称性ある数式の扱いとして、基本対称式を大切にする。

 すべての対称式は基本対称式で表現できることに注意する。

(平面ベクトルで言えば、同一平面内のすべてのベクトルを基本2ベクトル=基底ベクトルで表現できることに相当)

 

(参考図書)

 

図形(平面図形)・三角形の頂角の変化

(問題3)

             

               (京都大 / 理系数学入試の核心 標準編45番)

 

(解答例)

 

(重要ポイント)

・円の性質: 円周角は等しい = なす角が等しい4点は同一円周上に位置する

・円と直線が接する ⇔ (円の中心と直線の距離)= 円の半径

円と直線の位置関係は、”円の中心と直線の距離に対し、円の半径がどの程度の大きさなのか” で決まる ことを整理しておこう

 

(関連問題)

fujisuugaku.hatenablog.jp

 

(関連動画) なす角が一定を保つ点の軌跡は円(円弧):円周角の定理、円周角の定理の逆 について/中3数学)


www.youtube.com


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図形(空間図形)・断面図上で幾何的に考える

(問題4)

                         (2021 早稲田大・理工)

 

(解答例)

(重要ポイント)

・図形問題は、初等幾何での考察、ベクトルでの式処理、座標系の導入 のいずれかで別解が作れる。得意な解き方を決めておいてもらってよいが、初等幾何での考察が、最も計算が少なく、図形の状況を細かく把握でき、おすすめである。

・空間図形を初等幾何で考察する場合は、求めるべきあるいは注目するべき辺を含む平面上で考える(断面図で考える)のが、通常である。3次元のままで考えられる天才は少ないので、普通の人は2次元で次元を落として考えるべきである。微積分の考え方も同様である。

・ベクトルや座標系を組み込む場合、条件を数式に変換していく。図形の状況を式として表現してしまえば、あとは代数計算をするだけであるが、計算ミスを防ぐためにも、常に図形的解釈に変換して、解が妥当なものであるかを視覚的にも確認する習慣を持っておきたい。

 

(関連問題) 1980 東京大

fujisuugaku.hatenablog.jp

 

2022   群馬大・医 第3問

 

(解答例)

 

 

 

三角方程式・三角関数の式処理

(問題5)

                            (1992 京都大)


(解答例)

 

(重要ポイント)

(1)方程式を解くうえでは 積=0 の形にして、積の因子のいずれかが=0 ということから解を絞っていくというのが、一般的で機械的な解法である。三角関数の和積の公式を利用すれば一辺に集めた式を、積の形にするのも容易である。

今回はθの範囲も絞られており、図形的に(単位円上で)考えても、容易であろう

(2)2次方程式の解の問題に帰着できるので、グラフを描いて、tが0-1の間に解を持つ条件を考えれば、必要としてm,n の条件は絞られる。

あとは十分性を確認しておく。このような「必要で攻めて、十分で落とす(確認する)。」というのが、数学でよく行う考え方である。

 

 




 

三角関数と図形定量

(問題6)

                                                                                      (1989 大阪大)

 

(解答例)

(重要ポイント)

角をパラメーターとして導入することで、辺の長さを数式表現でき、求める面積を関数として表現することができる。あとは、その関数の変化を考える。

三角関数の積は和に、和は積に変換できることに慣れていればよりシンプルな式として考えることができる。特に角の和や差が一定の時は、変数部分を一つにまとめられる。

(2次関数における平方完成 と相似な考え方である。)

 

 

三角関数と図形定量 / 三角形の辺、角を求める基本は正弦定理、余弦定理

(問題7)

                            (1982 東京大)

 

(解答例)

(重要ポイント)

図形量を角度をパラメーターとして表現して変化を考える場合、もともとのパラメーターの変域は常に確認しておくことがある。図をいろいろ描きながらであれば、題意を満たすパラメーターの条件が見えてくるであろう。

線分ABが円と交点を持つ条件は、Bが円外にあり、かつAから引いた円の接線よりもBが下側にある=∠OAB < 90° であることが分かるであろう。まずはこのような図形的考察をする癖が大切である。(数式処理のみに頼らず)

三角関数と図形定量・角=一定の処理

(問題8)

                              (2013 東京大)

 

(解答例1)

(重要ポイント)

(1)与えられた式は、支点が揃った3つの単位ベクトルの和が零ベクトルになっているといことなので、3終点は正三角形の頂点を形成し、3つのベクトルの方向がそれぞれ120°の角を作り、お互いに均衡しているというイメージができるであろう。

(2)文字式のバランスを崩さないために、定数消去するというのはよく行う式処理である。定数消去により、文字間の平等性が保っていけるという、文字同士を平等に扱おうとする平等精神が数学では大切である。(数についても1.2.3・・・という、数えられる数字以外にもマイナスの数や虚数、2次元の数=ベクトル量 などについても平等に数とみなす精神が大切である。目に見えないものも大切にしよう。)

 

(解答例2)

(重要ポイント)

(2)(1)で分かったことを利用するのであれば、なす角が一定の動点Pは、円周を描くこと(円周上にあること)に気づきたい。円周角=一定であるという定理である。

あとは、座標を導入して円の方程式を立てれば、2円の交点として、原点以外の点Pを代数計算で求めることができる。

(関連動画)  円周角の定理、 円周角の定理の逆


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(解答例3)

 

(重要ポイント)

角度をパラメーターとして導入し、図形の定量を考える場合、三角形の辺と角度を結びつける2つの定理、すなわち正弦定理と余弦定理で等式を立てることが基本である。